霍尔效应 我们从最直观的现象开始。想象一个长方形的薄片导体（比如一块金属），我们沿着它的长度方向（假设为x轴）通入一个恒定的电流 \( I \)。此时，电子沿着与电流相反的方向（-x方向）漂移。 现在，我们施加一个垂直于这个薄片平面的外部磁场，方向为z轴正方向（垂直纸面向外）。根据洛伦兹力定律 \( \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \)，运动电荷（这里是电子，电荷 \( q = -e \)）在磁场中会受到一个垂直于其运动方向和磁场方向的力。具体来说，电子受到的洛伦兹力方向为 \(-e (\vec{v_ d} \times \vec{B})\)，其中 \( \vec{v_ d} \) 是电子的漂移速度方向（-x方向）。计算这个叉积，力指向薄片的-y方向边缘。 由于这个力的作用，电子开始向薄片的一侧（假设为下边缘，A侧）偏转并积累。相应的，薄片的另一侧（上边缘，B侧）因为缺少电子而带正电。这样，就在薄片的y方向上建立了一个横向的电荷分离，从而产生一个横向的电场 \( E_ H \)，这个电场被称为霍尔电场。 霍尔电场 \( E_ H \) 会对后续的电子产生一个与洛伦兹力方向相反的静电力 \( -eE_ H \)。电荷会持续在A侧积累，直到霍尔电场力与洛伦兹力达到平衡，即 \( eE_ H = ev_ d B \)。此时，电子恢复沿x方向的直线运动，但薄片两侧建立了稳定的横向电势差。 这个稳定的横向电势差 \( V_ H \) 就被称为霍尔电压。它与电流 \( I \)、磁场 \( B \) 和材料厚度 \( d \) （沿z轴方向）有关。通过推导可以得到关系式：\( V_ H = R_ H \cdot \frac{I B}{d} \)，其中 \( R_ H \) 是一个比例常数，称为霍尔系数。 霍尔系数 \( R_ H \) 是理解材料物理性质的关键。它的表达式为 \( R_ H = \frac{1}{nq} \)，其中 \( n \) 是载流子浓度（单位体积内的电荷数量），\( q \) 是载流子的电荷量（电子为 -e，空穴为 +e）。 符号判断 ：测量霍尔电压 \( V_ H \) 的极性，可以直接判断材料中主要载流子的类型。对于n型半导体（电子导电），\( R_ H \) 为负；对于p型半导体（空穴导电），\( R_ H \) 为正。 浓度测量 ：已知 \( q \)，通过测量 \( R_ H \) 可以精确计算出载流子浓度 \( n \)。 在更深入的量子力学和固体物理层面，霍尔效应有更丰富的形式。在强磁场和极低温条件下，二维电子气（如半导体异质结界面）中会出现 量子霍尔效应 。此时，霍尔电阻（\( R_ {xy} = V_ H / I \)）不再连续变化，而是出现一系列平台，其值被精确“量子化”为 \( R_ {xy} = \frac{h}{\nu e^2} \)，其中 \( h \) 是普朗克常数，\( \nu \) 是整数（整数量子霍尔效应）或分数（分数量子霍尔效应）。这种效应揭示了拓扑序和分数电荷等深刻物理概念。 霍尔效应的应用极其广泛： 磁场传感器 ：最直接的应用，通过测量 \( V_ H \) 来测量磁感应强度 \( B \)，用于磁强计、位置检测、电流传感（非接触测量电流产生的磁场）。 半导体表征 ：是测量半导体材料载流子类型、浓度和迁移率的核心工具。 基础物理研究 ：量子霍尔效应为电阻提供了自然基准，并推动了拓扑物态领域的发展。