布洛赫定理
字数 1938 2025-12-10 19:14:10

布洛赫定理

  1. 概念引入：周期性势场中的单电子问题
    在固体物理中，一个核心问题是理解电子在晶体中的运动。晶体由原子规则排列而成，其内部势场不是恒定的，而是随着原子核的周期性排列而呈现严格的周期性。求解这样一个多体问题极其复杂。一种有效的近似是“单电子近似”，即认为每个电子是在一个由原子核和其他电子产生的平均周期性势场 \(V(\vec{r})\) 中独立运动。布洛赫定理正是描述在这种周期性势场中运动的单电子波函数所必须遵循的普遍形式。

  2. 定理的精确表述
    布洛赫定理指出：在周期性势场 \(V(\vec{r}) = V(\vec{r} + \vec{R})\) 中（其中 \(\vec{R}\) 是晶格的任意格矢），定态薛定谔方程 \(\hat{H} \psi(\vec{r}) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r})\) 的解，具有如下特殊形式：

\[ \psi_{n\vec{k}}(\vec{r}) = e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} u_{n\vec{k}}(\vec{r}) \]

其中：
*   $ n $ 是能带索引（量子数）。
*   $ \vec{k} $ 是**波矢**，是一个位于第一布里渊区内的矢量，用于标记电子的状态。
*   $ u_{n\vec{k}}(\vec{r}) $ 是一个具有与晶格同样周期性的函数，即 $ u_{n\vec{k}}(\vec{r} + \vec{R}) = u_{n\vec{k}}(\vec{r}) $。
这个波函数被称为**布洛赫波函数**。其核心特征是：它是一个平面波 $ e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} $ 被一个周期性调制的振幅 $ u_{n\vec{k}}(\vec{r}) $ 所调制。

  1. 定理的深刻含义与推论

    • 平移对称性下的本征态：布洛赫定理是晶体平移对称性的直接结果。波函数本身不具有平移对称性，但它的“模平方”（即电子概率密度 \(|\psi(\vec{r})|^2\) ）具有完整的晶格平移对称性，因为 \(|\psi(\vec{r}+\vec{R})|^2 = |e^{i\vec{k} \cdot \vec{R}} \psi(\vec{r})|^2 = |\psi(\vec{r})|^2\)。这符合物理直观——电子在任何一个原胞中被发现的概率是相同的。
    • 周期边界条件与k的取值：在实际晶体（有限大但原子数量N极大）中，我们引入周期性边界条件（玻恩-卡门条件），这导致波矢 \(\vec{k}\) 不再连续，而是取一系列分立但极其密集的准连续值。每个允许的 \(\vec{k}\) 在第一布里渊区内对应一个状态。
    • 能带结构的起源：将布洛赫波函数代入薛定谔方程后，方程转化为只针对周期性函数 \(u_{n\vec{k}}(\vec{r})\) 在单个原胞内的本征值问题。对于每一个固定的 \(\vec{k}\)，求解这个方程会得到一系列分立的能量本征值 \(E_n(\vec{k})\)，其中 \(n=1,2,3,...\)。将每个能带索引 \(n\) 对应的 \(E_n(\vec{k})\) 随 \(\vec{k}\) 变化的关系画出来，就得到了固体的能带结构。这是理解材料是金属、半导体还是绝缘体的理论基础。

  2. 应用与意义

    • 固体电子理论的基石：布洛赫定理是能带理论的核心基石。几乎所有对晶体中电子行为的定量计算（如紧束缚近似、平面波展开、密度泛函理论等）都以布洛赫定理给出的波函数形式为起点。
    • 解释导电性：在完全周期性势场中，布洛赫电子可以无耗散地传播（理想晶体电阻为零）。实际电阻来源于晶格振动（声子）、缺陷、杂质等对周期性的破坏。此外，满带电子不导电，部分填充的能带才导电，这完美地区分了导体和绝缘体/半导体。
    • 倒易空间与布里渊区：布洛赫定理自然地引入了波矢 \(\vec{k}\) 空间，即倒易空间。晶体在实空间的周期性，对应着状态在倒易空间（k空间）的周期性（布里渊区）。所有电子状态都可以用第一布里渊区内的k点来描述，这极大地简化了问题。
    • 扩展：布洛赫振荡：理论上，在恒定外力（如电场）下，电子的波矢 \(\vec{k}\) 会线性变化。当它到达布里渊区边界时，由于能带的周期性，它会折回，导致电子在实空间来回振荡，称为布洛赫振荡。在实际晶体中，由于散射时间太短，通常观察不到此现象，但在超晶格等人造周期性结构中已被证实。
布洛赫定理 概念引入：周期性势场中的单电子问题 在固体物理中，一个核心问题是理解电子在晶体中的运动。晶体由原子规则排列而成，其内部势场不是恒定的，而是随着原子核的周期性排列而呈现严格的周期性。求解这样一个多体问题极其复杂。一种有效的近似是“单电子近似”，即认为每个电子是在一个由原子核和其他电子产生的平均周期性势场 \( V(\vec{r}) \) 中独立运动。布洛赫定理正是描述在这种周期性势场中运动的单电子波函数所必须遵循的普遍形式。 定理的精确表述 布洛赫定理指出：在周期性势场 \( V(\vec{r}) = V(\vec{r} + \vec{R}) \) 中（其中 \(\vec{R}\) 是晶格的任意格矢），定态薛定谔方程 \( \hat{H} \psi(\vec{r}) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right ] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \) 的解，具有如下特殊形式： \[ \psi_ {n\vec{k}}(\vec{r}) = e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} u_ {n\vec{k}}(\vec{r}) \] 其中： \( n \) 是能带索引（量子数）。 \( \vec{k} \) 是 波矢 ，是一个位于第一布里渊区内的矢量，用于标记电子的状态。 \( u_ {n\vec{k}}(\vec{r}) \) 是一个具有与晶格同样周期性的函数，即 \( u_ {n\vec{k}}(\vec{r} + \vec{R}) = u_ {n\vec{k}}(\vec{r}) \)。 这个波函数被称为 布洛赫波函数 。其核心特征是：它是一个平面波 \( e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} \) 被一个周期性调制的振幅 \( u_ {n\vec{k}}(\vec{r}) \) 所调制。 定理的深刻含义与推论 平移对称性下的本征态 ：布洛赫定理是晶体平移对称性的直接结果。波函数本身不具有平移对称性，但它的“模平方”（即电子概率密度 \( |\psi(\vec{r})|^2 \) ）具有完整的晶格平移对称性，因为 \( |\psi(\vec{r}+\vec{R})|^2 = |e^{i\vec{k} \cdot \vec{R}} \psi(\vec{r})|^2 = |\psi(\vec{r})|^2 \)。这符合物理直观——电子在任何一个原胞中被发现的概率是相同的。 周期边界条件与k的取值 ：在实际晶体（有限大但原子数量N极大）中，我们引入周期性边界条件（玻恩-卡门条件），这导致波矢 \(\vec{k}\) 不再连续，而是取一系列分立但极其密集的准连续值。每个允许的 \(\vec{k}\) 在第一布里渊区内对应一个状态。 能带结构的起源 ：将布洛赫波函数代入薛定谔方程后，方程转化为只针对周期性函数 \( u_ {n\vec{k}}(\vec{r}) \) 在单个原胞内的本征值问题。对于每一个固定的 \(\vec{k}\)，求解这个方程会得到一系列分立的能量本征值 \( E_ n(\vec{k}) \)，其中 \( n=1,2,3,... \)。将每个能带索引 \( n \) 对应的 \( E_ n(\vec{k}) \) 随 \(\vec{k}\) 变化的关系画出来，就得到了固体的 能带结构 。这是理解材料是金属、半导体还是绝缘体的理论基础。 应用与意义 固体电子理论的基石 ：布洛赫定理是能带理论的核心基石。几乎所有对晶体中电子行为的定量计算（如紧束缚近似、平面波展开、密度泛函理论等）都以布洛赫定理给出的波函数形式为起点。 解释导电性 ：在完全周期性势场中，布洛赫电子可以无耗散地传播（理想晶体电阻为零）。实际电阻来源于晶格振动（声子）、缺陷、杂质等对周期性的破坏。此外，满带电子不导电，部分填充的能带才导电，这完美地区分了导体和绝缘体/半导体。 倒易空间与布里渊区 ：布洛赫定理自然地引入了波矢 \(\vec{k}\) 空间，即倒易空间。晶体在实空间的周期性，对应着状态在倒易空间（k空间）的周期性（布里渊区）。所有电子状态都可以用第一布里渊区内的k点来描述，这极大地简化了问题。 扩展：布洛赫振荡 ：理论上，在恒定外力（如电场）下，电子的波矢 \(\vec{k}\) 会线性变化。当它到达布里渊区边界时，由于能带的周期性，它会折回，导致电子在实空间来回振荡，称为布洛赫振荡。在实际晶体中，由于散射时间太短，通常观察不到此现象，但在超晶格等人造周期性结构中已被证实。