泰勒展开 泰勒展开是用多项式逼近复杂函数的方法。想象你要画一个复杂曲线，但只允许用直线段拼接——这往往粗糙。如果允许用抛物线、三次曲线等，就能更精确地“贴合”原曲线。泰勒展开的核心思想是：在某一点附近，用多项式函数无限逼近原函数，多项式系数由该点处各阶导数值决定。 第一步：从微分到线性逼近。给定函数 \( f(x) \) 在点 \( x=a \) 可导，其导数 \( f'(a) \) 表示该点瞬时变化率。在 \( a \) 附近，用直线 \( L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) \) 近似 \( f(x) \)，称为一阶泰勒多项式或线性逼近。例如 \( f(x) = \sin x \) 在 \( a=0 \) 处，\( f(0)=0 \)，\( f'(0)=\cos 0 = 1 \)，得 \( L(x) = x \)，即 \( \sin x \approx x \) 当 \( x \) 接近 0。 第二步：引入高阶导数改进逼近。直线无法反映弯曲，若函数二阶可导，可添加二次项：\( P_ 2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \)。对 \( \sin x \) 在 \( a=0 \)，\( f''(0)=-\sin 0=0 \)，故二次项为零，逼近仍为 \( x \)。到三阶：\( P_ 3(x) = x - \frac{x^3}{6} \)，因 \( f'''(0)=-\cos 0 = -1 \)，此时更接近正弦曲线的弯曲形态。 第三步：一般形式的泰勒级数。若函数在 \( a \) 处无限可导，其泰勒级数为： \[ f(x) = \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !} (x-a)^n \] 其中 \( f^{(n)}(a) \) 是 \( n \) 阶导数在 \( a \) 的值，\( n! \) 为阶乘。当 \( a=0 \) 时，称为麦克劳林级数。例如 \( e^x \) 在 \( 0 \) 处的麦克劳林级数为 \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3 !} + \cdots \)，对所有实数 \( x \) 精确成立。 第四步：余项与收敛性。实际中用有限项 \( N \) 阶多项式近似，误差为余项 \( R_ N(x) \)，常见拉格朗日余项：\( R_ N(x) = \frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!} (x-a)^{N+1} \)，其中 \( \xi \) 在 \( a \) 与 \( x \) 之间。泰勒级数可能仅在一定区间内收敛到原函数，该区间由收敛半径决定。例如 \( \ln(1+x) \) 在 \( a=0 \) 处展开为 \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \)，仅当 \( -1 < x \leq 1 \) 时收敛。 第五步：应用实例。泰勒展开广泛用于物理、工程和经济学。例如在优化问题中，用二阶展开近似目标函数以寻找极值点；在微分方程数值解中构建离散格式；或于经济模型中对非线性函数局部线性化。它本质是将复杂函数转化为多项式，利用多项式易于计算和分析的特性。