科恩反常 科恩反常是描述金属中声子色散关系在波矢接近布里渊区边界时，由于电子-声子相互作用而导致声子频率出现软化或能隙的一种现象。它揭示了金属晶格动力学的量子本质。 金属的晶格振动与声子 在晶体中，原子围绕其平衡位置做微小振动。这些振动可以分解为一系列独立的简正模，每个模具有特定的波矢 q 和角频率 ω( q )。 这些晶格振动的量子化准粒子称为“声子”。声子的能量为 ħω，其中 ħ 是约化普朗克常数。 声子的频率 ω 与波矢 q 之间的关系称为“色散关系”。对于简单的绝缘体晶体，在长波极限（即 q 很小）下，声子频率 ω 通常与波矢 q 成正比，即 ω = v_ s | q |，其中 v_ s 是声速。 金属中的自由电子气 金属的特征是存在未填满的能带，即导带。在简单模型中，价电子被视为自由的、相互独立的粒子，形成“自由电子气”。 这些电子的能量 E 与波矢 k 的关系为 E = (ħ² k ²)/(2m* )，其中 m* 是电子的有效质量。在绝对零度下，电子占据的状态形成一个费米球，其半径称为费米波矢 k_ F。 费米能 E_ F 是费米球面上的能量。 电子-声子相互作用 晶格振动（声子）会周期性地调制晶体势场，这种调制会散射传导电子，从而影响电子的运动状态。反过来，电子的分布和运动也会影响晶格振动的行为。 这种相互影响被称为“电子-声子相互作用”。它是导致金属电阻（在有限温度下）的重要原因，同时也深刻影响着金属的晶格动力学。 介电函数与屏蔽 当晶格发生振动，正离子实偏离平衡位置时，会在晶体中产生一个微弱的极化场。在绝缘体中，这个场是长程的。 然而，在金属中，自由的传导电子能够响应这个极化场，并重新分布以“屏蔽”它。电子屏蔽的效率用一个物理量——介电函数 ε( q , ω) 来描述。 林哈德推导出了自由电子气的介电函数。其关键结论是，对于静态或低频的扰动（ω ≈ 0），电子能够非常有效地屏蔽长波（小 q ）的势场。但是，当波矢 q 的大小接近 2k_ F 时，屏蔽效率会出现一个奇异的下降。 科恩反常的出现 声子的频率本质上由离子实之间的恢复力决定。在考虑了电子气的屏蔽效应后，有效的离子-离子相互作用势会包含电子屏蔽带来的修正。 Walter Kohn 在1959年指出，由于介电函数在 | q | = 2k_ F 处存在奇异性（称为“Kohn奇点”），离子间相互作用的势能会出现一个振荡性的长程尾部（弗里德尔振荡）。 这个奇异性会直接传递到声子的色散关系 ω( q ) 上。具体表现为：当声子的波矢 q 的大小接近 2k_ F 时，声子频率会偏离其原本的平滑曲线，出现一个明显的“凹陷”或“软化”。这个现象就是科恩反常。 在某些情况下，如果这种软化足够强，甚至可能导致晶格失稳，诱发电荷密度波或结构相变。 实验观测与意义 科恩反常可以通过中子散射或X射线散射实验直接观测。实验测得的声子色散曲线会在波矢接近 2k_ F 处显示出一个陡峭的下降。 科恩反常是金属中电子-声子相互作用存在的直接证据。它表明，不能将金属的晶格振动和电子系统视为完全独立的两个部分。 理解科恩反常对于研究许多金属的物理性质至关重要，包括超导电性（BCS理论的基础就是电子-声子相互作用）、结构相变以及低维材料的特殊电子行为。