黏弹性材料的广义开尔文-沃伊特模型

1. 基础概念：弹性与黏性行为的并联
   广义开尔文-沃伊特模型是描述黏弹性材料力学响应的经典模型之一。其核心思想是将弹性单元（弹簧，满足胡克定律 \(\sigma_e = E\epsilon\)）与黏性单元（黏壶，满足牛顿流体定律 \(\sigma_v = \eta\dot{\epsilon}\)）以并联方式组合。单个开尔文-沃伊特单元体现的是材料的延迟弹性行为，即应变响应滞后于应力，且应变率随时间衰减。

2. 单单元模型的数学描述
   对于单个开尔文-沃伊特单元，弹簧与黏壶的应变相同（\(\epsilon\)），总应力为两者应力之和：

\[ \sigma(t) = E\epsilon(t) + \eta\frac{d\epsilon}{dt} \]

在蠕变测试（恒定应力 \(\sigma_0\)）中，其应变随时间演化方程为：

\[ \epsilon(t) = \frac{\sigma_0}{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{\eta}{E} \]

其中 \(\tau\) 为延迟时间，表示应变达到稳态值的63.2%所需时间。该模型无法描述瞬时弹性响应或永久黏性流动。

3. 广义模型的构建原理
   实际材料通常表现出多 relaxation/retardation 过程。广义开尔文-沃伊特模型通过多个开尔文-沃伊特单元串联来模拟这种复杂行为（注：串联后每个单元承受相同应力，总应变为各单元应变之和）。此时，蠕变柔量 \(J(t)\) 可表示为：

\[ J(t) = \sum_{i=1}^{n} J_i \left(1 - e^{-t/\tau_i}\right) \]

其中 \(J_i = 1/E_i\) 为第 \(i\) 单元的柔量，\(\tau_i = \eta_i/E_i\) 为其延迟时间。该表达式能拟合实验观测的多阶段蠕变曲线。

4. 与广义麦克斯韦模型的对比
   广义麦克斯韦模型（弹簧与黏壶串联）擅长描述应力松弛（恒定应变下应力衰减），而广义开尔文-沃伊特模型更适用于预测蠕变行为。两者均通过离散的松弛/延迟时间谱逼近实际材料的连续时间谱。在数学上，两者可通过拉普拉斯变换相互转换。

5. 应用与参数拟合
   该模型广泛应用于聚合物、生物组织等材料的蠕变数据分析。通过动态力学分析（DMA）测量不同频率下的储能模量 \(E'\) 和损耗模量 \(E''\)，可利用非线性拟合技术反演得到 \(J_i\) 和 \(\tau_i\) 参数集，从而建立材料的本构关系。例如，沥青的蠕变柔量常由2-3个开尔文-沃伊特单元与一个稳态流动项组合描述。