黏弹性材料的本构关系 黏弹性材料的本构关系是描述其应力与应变、应变率之间关系的数学表达式。它是理解和预测材料在外力作用下力学响应的核心。 基本概念：应力与应变 应力 ：材料内部单位面积上所承受的内力，单位为帕斯卡。它描述了外力在材料内部的分布强度。 应变 ：材料在外力作用下产生的相对形变，是一个无量纲量。它描述了材料形状改变的程度。 对于纯弹性固体（如弹簧），其应力与应变成正比，即遵循胡克定律。对于纯粘性流体（如牛顿流体），其应力与应变率（应变随时间的变化率）成正比，即遵循牛顿粘性定律。 黏弹性行为的核心特征 黏弹性材料同时表现出弹性固体的性状（应力取决于应变）和粘性流体的性状（应力取决于应变率）。 因此，其本构关系必须同时包含应变和应变率项。最简单的线性黏弹性模型是 麦克斯韦模型 （弹簧和阻尼器串联）和 开尔文-沃伊特模型 （弹簧和阻尼器并联），它们分别擅长描述应力松弛和蠕变现象。 微分型本构关系 这是表达本构关系的一种常见形式，通过微分方程将应力、应变及其时间导数联系起来。 例如，麦克斯韦模型的本构关系为： dε/dt = (1/E) * dσ/dt + σ/η 。其中， σ 是应力， ε 是应变， E 是弹性模量， η 是粘度。这个方程表明，总应变率由弹性应变率（与应力变化率相关）和粘性应变率（与应力本身相关）两部分组成。 对于更复杂的材料行为，可以使用 广义麦克斯韦模型 （多个麦克斯韦单元并联），其本构关系是一系列类似微分方程的叠加，能够描述宽广时间尺度内的松弛行为。 积分型本构关系 这是另一种等价的表达形式，特别适用于描述材料对加载历史的依赖性。 积分型本构关系通常表示为： σ(t) = ∫[从-∞到t] G(t - τ) * dε(τ)/dτ dτ 。 在这个方程中： σ(t) 是当前时刻 t 的应力。 G(t) 称为 松弛模量 ，它是一个核心材料函数，描述了材料在施加一个单位阶跃应变后，应力随时间衰减的规律。 dε(τ)/dτ 是过去时刻 τ 的应变率。 这个公式的物理意义是：材料在任意时刻 t 的应力，是它对过去所有时刻 τ 的应变历史记忆的加权总和。权重函数就是松弛模量 G(t - τ) ，它决定了“记忆”衰减的快慢。 本构关系在频域的表达 当材料承受正弦变化的振荡应力或应变时，使用复数形式来表达本构关系最为方便。 此时，应力与复应变之比定义为 复数模量 G*(ω) ： σ(ω) = G*(ω) * ε(ω) 。 复数模量 G*(ω) 可以分解为两部分： 储能模量 G'(ω) ：代表材料在每个周期中储存并可恢复的能量，反映其弹性成分。 损耗模量 G''(ω) ：代表材料在每个周期中因内摩擦而耗散为热的能量，反映其粘性成分。 它们之间的关系是 G*(ω) = G'(ω) + iG''(ω) 。 频域中的复数模量与前述时域中的松弛模量 G(t) 通过傅里叶变换相互关联，为实验数据分析提供了桥梁。