德拜函数 德拜函数是描述固体在低温下晶格振动热容的物理函数，其推导基于德拜模型——该模型将固体视为连续弹性介质，原子振动以声子（集体激发）形式描述。 步骤1：德拜模型的基本假设 固体被视为各向同性的连续介质，忽略原子离散结构（适用于长波振动）。 晶格振动频率存在上限（德拜频率 \( \omega_ D \)），由固体原子密度和声速决定。 频率分布服从二次方关系：\( g(\omega) = \frac{9N}{\omega_ D^3} \omega^2 \)，其中 \( N \) 为原子数，\( g(\omega) \) 表示单位频率区间内的振动模式数。 步骤2：热容的普遍表达式 固体热容由所有振动模式的平均能量对温度求导得到。每个振动模式能量遵循普朗克分布，总能量为： \[ U = \int_ 0^{\omega_ D} \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega / k_ B T} - 1} g(\omega) d\omega \] 代入 \( g(\omega) \) 后，热容 \( C_ V = \frac{\partial U}{\partial T} \)。 步骤3：引入德拜函数的具体形式 定义德拜温度 \( \Theta_ D = \frac{\hbar \omega_ D}{k_ B} \) 和无量纲变量 \( x = \frac{\hbar \omega}{k_ B T} \)，热容可写为： \[ C_ V = 9N k_ B \left(\frac{T}{\Theta_ D}\right)^3 \int_ 0^{\Theta_ D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} dx \] 其中积分部分即为德拜函数 \( D_ 3(x) \)。 步骤4：德拜函数的极限行为 高温区（\( T \gg \Theta_ D \)） ：德拜函数近似为 \( D_ 3(x) \approx 1 \)，热容趋于经典杜隆-珀蒂值 \( C_ V \approx 3N k_ B \)。 低温区（\( T \ll \Theta_ D \)） ：积分上限可近似为无穷大，得到 \( C_ V \propto T^3 \)，与实验观测的低温立方定律一致。 步骤5：德拜函数的物理意义与修正 德拜函数通过单一参数 \( \Theta_ D \) 统一描述固体热容的温变行为，但实际材料因各向异性和光学支振动需修正。 广义德拜函数 \( D_ n(x) \) 还可用于其他物理问题（如介电响应），其中 \( n \) 与维度或模型细节相关。