德拜长度

德拜长度是描述电解质溶液中静电屏蔽效应特征距离的物理量。它表示一个固定电荷在溶液中能够产生显著静电影响的平均距离。

1. 静电相互作用的本质
   在真空中，点电荷Q产生的电势随距离r按库仑定律衰减：φ(r) = Q/(4πε₀r)。但在电解质溶液中，正负离子会围绕中心电荷重新分布，形成"离子氛"，削弱其电场。

2. 德拜-休克尔理论的基本假设

   • 离子被视为点电荷
   • 仅考虑静电相互作用
   • 采用玻尔兹曼分布描述离子分布
   • 假设电势能远小于热运动能（|zφ| << kT）

3. 泊松-玻尔兹曼方程的推导
   将电荷密度代入泊松方程：∇²φ = -ρ/ε
   离子浓度遵循玻尔兹曼分布：nᵢ = nᵢ⁰exp(-zᵢφ/kT)
   线性化近似后得到：∇²φ = κ²φ
   其中κ² = (2e²n⁰/εkT) 对于1:1电解质

4. 德拜长度的数学表达式
   德拜长度 λ_D = 1/κ = √(εkT/2e²n⁰)
   更通用形式：λ_D = √(εkT/∑nᵢ⁰zᵢ²e²)
   其中n⁰为离子数密度，ε为介电常数，z为离子价数

5. 物理意义与屏蔽效应
   方程解为φ(r) = (Q/4πεr)exp(-r/λ_D)
   这表明在距离r > λ_D时，电势呈指数衰减，静电作用被有效屏蔽。德拜长度即为电势衰减到1/e的特征距离。

6. 影响因素与典型数值

   • 离子浓度：浓度越高，λ_D越小（λ_D ∝ 1/√n）
   • 温度：温度升高，λ_D增大
   • 介电常数：ε越大，λ_D越大
     在生理盐水中λ_D ≈ 0.8 nm，在纯水中λ_D ≈ 1 μm

7. 应用领域

   • 胶体稳定性（DLVO理论）
   • 生物膜电位分析
   • 电化学双电层研究
   • 等离子体物理中的德拜屏蔽