德拜模型

德拜模型是描述固体中原子振动对热容贡献的理论模型，特别适用于低温区域。

1. 固体热容的经典与早期量子困境

   • 经典理论（杜隆-珀蒂定律）认为固体热容为常数（约 3R），但实验显示低温下热容随温度降低而趋近于零。
   • 爱因斯坦模型将原子振动简化为独立谐振子，虽解释了高温热容但低估了低温值，因其假设所有原子振动频率相同。

2. 德拜的核心思想：声子与频率分布

   • 德拜将固体视为连续弹性介质，原子振动以声波形式传播，其能量量子化为声子。
   • 关键突破：振动频率存在上限——德拜频率，源于原子离散性（总振动模式数等于原子自由度数的 3N）。
   • 频率分布函数基于弹性波在介质中的传播，假设频率分布从 0 到德拜频率连续变化。

3. 德拜温度与热容公式

   • 引入德拜温度，关联德拜频率与材料特性。
   • 热容计算通过积分所有频率的声子能级占据数，得到德拜热容公式：
     • 高温时还原为杜隆-珀蒂定律。
     • 低温时给出著名的 \(T^3\) 定律，与实验吻合。

4. 模型的成功与局限

   • 成功：低温 \(T^3\) 定律精确描述绝缘体热容，验证声子概念。
   • 局限：忽略振动谱细节（如光学支声子），对金属需额外考虑电子热容贡献。